MATEMATIKA DISKRIT - POHON (TREE)

Pohon (tree) adalah graf tak-berarah terhubung yang tidak mengandung sirkuit.

• Gambar G1 dan G2 disebut pohon karena telah memenuhi syarat sesuai definisi pohon itu sendiri.
• Gambar G3 tidak bisa disebut pohon karena gambar tersebut mengandung sirkuit.

• Gambar G4 tidak bisa disebut pohon karena gambar tersebut memiliki graf yang tidak terhubung.

 

Hutan (forest) adalah kumpulan pohon yang saling lepas. Bisa juga diartikan dengan graf tak terhubung yang tidak mengandung sirkuit, dalam hal ini setiap komponen di dalam graf terhubung.

Sifat-sifat Pohon

Misalkan G = (V,E) adalah graf tak-berarah sederhana dan jumlah simpulnya n, maka :

1.      G adalah pohon

2.      Setiap pasang simpul di dalam G terhubung dengan lintasan tunggal

3.      G terhubung dan memiliki m = n -1 buah sisi

4.      G tidak mengandung sirkuit dan memiliki m = n – 1 buah sisi

5.      G tidak mengandung sirkuit dan penambahan satu sisi pada graf akan membuat hanya satu sirkuit

6.      G terhubung dan semua sisinya adalah jembatan (jembatan adalah sisi yang bila dihapus menyebabkan graf terpecah menjadi dua komponen)

Jika hutan F dengan k komponen mempunyai

                        m = n – 1 buah sisi

Pohon Merentang (Spanning Tree)

Pohon merentang adalah subgraf dari graf terhubung berbentuk pohon.

• Setiap graf terhubung mempunyai paling sedikit 1 buah pohon merentang.
• Cabang (branch) adalah sisi dari graf semula (sisi pada pohon merentang).
• Tali-hubung (chord atau link) dari pohon adalah sisi dari graf yang tidak terdapat di dalam pohon merentang.

Pohon Berakar (Rooted Tree) 

• Pohon berakar adalah pohon yang sebuah simpulnya diperlakukan sebagai akar dan sisi-sisinya diberi arah menjauh dari akar.
• Akar mempunyai derajat masuk nol dan simpul-simpul lainnya berderajat masuk sama dengan satu.
• Daun atau simpul terminal adalah simpul yang mempunyai derajat keluar sama dengan nol.
• Simpul dalam atau simpul cabang adalah simpul yang mempunyai derajat keluar tidak sama dengan nol.

Terminologi pada Pohon Berakar

• Child atau children (Anak) dan parent (orangtua)
• Path (lintasan)
• Descendant (Keturunan) dan ancestor (leluhur)
• Sibling (saudara kandung)
• Subtree (subpohon)
• Degree (derajat)
• Leaf (daun)
• Internal nodes (simpul dalam)
• Level (tingkat)
• Height (tinggi) atau depth (kedalaman)

Child atau children (Anak) dan parent (orangtua)

Simpul y dikatakan anak simpul x jika ada sisi dari simpul x ke y dan Orangtua dari simpul y adalah simpul x.
Pada gambar G1 : 

• Simpul b, c dan d --> anak dari simpul a 
• Simpul e dan f --> anak dari simpul b 
• Simpul a --> orangtua dari simpul b, c dan d 
• Simpul b --> orangtua dari simpul e dan f  

Path (lintasan)

Lintasan dari simpul v_i ke simpul v_k adalah runtunan simpul-simpul v₁, v₂ ,…, v_k sedemikian hingga v_i adalah orangtua dari v_i+1 untuk 1 <= i <= K.
Panjang lintasan adalah jumlah sisi yang dilalui dalam suatu lintasan, yaitu k – 1.
Pada gambar G1 : 

• Lintasan dari a ke j adalah a, b, e dan j 
• Panjang lintasan dari a ke j adalah 3

Descendant (Keturunan) dan ancestor (leluhur)

x adalah leluhur dari simpul y jika terdapat lintasan dari simpul x ke simpul y di dalam pohon dan keturunan dari simpul x adalah simpul y.
Pada gambar G1 :

• Simpul b adalah leluhur dari simpul h
• Simpul h adalah keturunan dari simpul b

Sibling (saudara kandung)

Sibling atau saudara kandung adalah simpul yang berorangtua sama
Pada gambar G1 :

• Simpul f saudara kandung dari e
• Simpul g bukan saudara kandung dari e karena orangtua berbeda 

Subtree (subpohon) 

Subtree dengan x sebagai akarnya adalah subgraf T’ = (V’,E’) sedemikian hingga V’ mengandung x dan semua keturunannya dan E’ mengandung sisi-sisi dalam semua lintasan yang berasal dari x
Pada gambar G2 :

• V’ = {b, e, f, h, i, j}
• E’ = {(b, e), (b, f), (e, h), (e, i), (e, j)}
• b adalah simpul akar 

Degree (derajat) 

Derajat sebuah simpul pohon berakar adalah jumlah subtree (jumlah anak) pada simpul tersebut. Derajat pohon berakar merupakan derajat keluar
Pada gambar G1 :

• Derajat simpul a : 3, simpul b : 2, simpul c : 0 dan simpul d : 1
• Derajat tertinggi (maksimum) : 3 

Leaf (daun)

Adalah simpul yang berderajat nol (tidak mempunyai anak)
Pada gambar G1 :

• Merupakan daun : simpul c, f, h, i, j, l dan m.

Internal nodes (simpul dalam) 

Adalah simpul yang mempunyai anak
Pada gambar di samping :

• Merupakan simpul dalam : simpul b, d, e, g dan k

Level (tingkat) 

Akar mempunyai level = 0
Level simpul lainnya = 1 + panjang lintasan dari akar ke simpul tersebut (gambar G3).

Height (tinggi) atau depth (kedalaman)

Adalah level maksimum dari suatu pohon
Nama lain : panjang maksimum lintasan dari akar ke daun
Pada gambar di samping :

• Pohon mempunyai tinggi atau kedalaman : 4

Ordered Tree (Pohon Berakar Terurut)

Adalah pohon berakar yang urutan anak-anaknya penting. Sistem universal dalam pengalamatan simpul-simpul pada pohon terurut adalah dengan memberi nomor setiap simpulnya seperti penomoran bab (beserta subbab) di dalam sebuah buku

Pohon m-ary

Adalah pohon berakar yang setiap simpul cabangnya mempunyai banyak n buah anak. Jika m = 2 --> Pohon biner (binary tree).
Pohon m-ary dikatakan pohon penuh (full) atau pohon teratur jika setiap simpul cabangnya mempunyai tepat m buah anak.

Penggunaan pohon m-ary

• Penurunan kalimat (dalam bidang bahasa)
• Direktori arsip di dalam komputer
• Struktur organisasi
• Silsilah keluarga (dalam bidang genetika)
• Struktur bab atau daftar isi di dalam buku
  Bagan pertandingan antara beberapa tim sepak bola
  Dll

Struktur direktori arsip di dalam sistem operasi Windows

Jumlah Daun pada Pohon m-ary Penuh

Pada pohon m-ary penuh dengan tinggi (height) h, jumlah daun (leaf) adalah : mh
Jika T bukan pohon m-ary penuh  ? jumlah daun ? mh
Jumlah seluruh simpul pohon m-ary pada pohon m-ary penuh dengan tinggi h :
    level 0    --> jumlah simpul = m0 = 1
    level 1    --> jumlah simpul = m1
    level 2    --> jumlah simpul = m2
            …
    level h    --> jumlah simpul = mh
    sehingga jumlah seluruh simpul adalah :




Sehingga jumlah seluruh simpul untuk T bukan pohon m-ary penuh :

  

Hubungan Jumlah Daun dan Simpul Dalam pada Pohon m-ary Penuh

Misalkan :
i = banyaknya simpul dalam
t = banyaknya simpul daun di dalam pohon biner penuh
m = banyaknya simpul child
    Sehingga : (m – 1) i = t – 1